在这场前所未有的疫情面前，我们第一次采用了线上教学的方法给学生上课。作为学生，钟充老师以前经历过线上教学，但从未有如此大的规模；作为老师，不问可知，这是第一次。无疑，线上教学给老师和同学都带来了巨大的挑战，但也带来了创新的机会。
钟老师讲授的课程是数学课中的《概率论》(以下简称概率论)，主要面向经管专业的同学们。经管专业的同学有一部分是文科高考上来的，数学基础比较薄弱，一些应有的预备知识也比较缺乏。这就给上好概率论这门课这个任务带来了不小的挑战。
学校和教研室给数学基础课定下的基于慕课的数学课讲授方式无疑是非常适合疫情期间的线上教学的。这不仅仅是给学生带来了大量优质的教育资源，同时也起到了变相督促同学们课后学习的作用，从而教师可以更多地把精力投入到习题的评讲和重要概念的辨析当中。在这样一个大框架下展开的线上教学工作，无疑是走在了一个正确的大方向上，可以基本保证线上教学的质量。当然，在教学实践中，钟老师还是遇到了各种各样的问题，具体表现为两大点：一是教学板书质量难以保证；二是学生的学习热情难以调动。
在数学的课堂上，板书绝对是最重要的部分。无论是对于概念的解构和推导，还是对具体问题的计算和解析，教师板书都是必不可少的。这是任何优秀的课件、教学视频都无法取代的。然而，一般的在线教学往往难以有清晰的板书展示，即便腾讯课堂和腾讯会议等软件适时推出了白板和画笔功能，书写板书的能力也极为有限并且无法将板书导出。钟老师在过去的学习经验中，发现了非常好的解决办法。基于诸如Apple pencil这样的电容笔与Notability这样的平板书写软件相结合的方式，教师可以在平板上得心应手地书写需要的推导过程和计算草稿并投屏展示给同学。然后可以将书写的结果导出为PDF分享给同学，方便同学在复习的时候参考翻阅。这种做法甚至可以推广到线下的教学，教师可以利用诸如超星学习平台的投屏功能，将教师平板上的内容投映到屏幕上，这样既比传统的板书清晰，又可以导出给同学们自学。而事实上传统课堂里同学们需要拿起手机拍照板书，事实上效果并不是最佳的。而且由于电子书写的无限容量性，教师讲课时无需顾忌黑板的版面大小，可以把更多的细节在板书和草稿中进行演示，这无疑是更加有效的板书方式。
对于提升学生学习热情方面，钟老师个人的体会是，教师可以尽可能地使用数学软件，为学生展示模拟和计算机计算的结果。在本学期的教学过程中，钟老师在给同学答疑时遇到一个许多同学疑惑的问题：“将数码1, 2, 3...n 随机排成一列，最后得到的序列中至少有一个数字在原本的数字顺序位置上的概率是多少？”与此相类似的问题是“n个人随机交换手上的礼物，最后每个人都没有拿到自己原先的礼物的概率是多少？”这个题目是概率论当中经典的问题，涉及到乱序排位。更重要的是该问题的极限是一个泊松过程的近似，进而可与推广到自然对数的推导过程。这无疑有着极为深远的意义。然而这个题目对于经管类的学生而言，是过于复杂和过于抽象的。对此，在教学中，钟老师不仅仅把完整的推导过程写成板书总结给同学，还用统计软件R对不同的数码序列做了200万次的模拟，将模拟的结果和人们推倒的理论概率进行比对。在这个过程中，同学们不仅看到了该过程对于n收敛的速度，也进一步直观体会到了在随机试验次数趋于无穷的时候，频率稳定的趋向于概率这样一个基本定理。在描述中心极限定理的时候，教师也可以用R进行大规模的抽样和随机实验，再以可视化的形式展示出来，给同学们以直观的感受。同样，在其他数学课程的教学中，数学软件的使用可以极大的提高课堂的效率。比如《线性代数》的教学过程中，MATLAB的参与可以提高教师在教学中的计算效率，在对于不重要的计算过程可以用MATLAB一步导出结果。更重要的是MATLAB有免费网页版本Octave，教师可以教会学生一些简单的计算代码，从而学生在自学的过程中可以快速用计算机验证计算结果，激发学习热情，提高学习效率。对于《高等数学》和《微积分》，笔者认为Wolfram这样的网站也可以有效的参与到教学的辅助中。最重要的是这些网站和软件学习成本非常的低，搜索引擎上有大量浅显易懂的教程，而且网站和软件本身是英文的，却有大量中文的教程，还可以促进培养学生拓展国际视野的能力。
以上内容是钟老师在这次疫情期间关于数学课线上教学的一点思考。因此钟老师也希望在此抛砖引玉，期待其他老师提出更为丰富有趣的教学实践方法和经验。
